المتجه كمية لها مقدار واتجاه، بخلاف الكمية القياسية التي لها مقدار فقط. السرعة متجه لأننا نهتم باتجاهها، أما الكتلة فكمية قياسية. في الرياضيات نكتب المتجه في المستوى بمركّبتيه، مثل ⟨3, 4⟩: ثلاث وحدات أفقيًا وأربع رأسيًا.
1. طول المتجه
طول المتجه هو الجذر التربيعي لمجموع مربعي مركّبتيه. هذه في الحقيقة نظرية فيثاغورس، لأن المركبتين ضلعا مثلث قائم والمتجه وتره.
- القاعدة: طول ⟨a, b⟩ يساوي √(a² + b²).
- مثال: طول ⟨3, 4⟩ يساوي √(9 + 16) = √25 = 5.
المتجه الذي طوله 1 يسمى متجه الوحدة. لتحصل عليه من أي متجه، اقسم المتجه على طوله.
2. جمع المتجهات وطرحها
نجمع المركّبات المتناظرة: الأفقية مع الأفقية، والرأسية مع الرأسية.
- ⟨1, 2⟩ + ⟨3, −1⟩ = ⟨4, 1⟩.
- ⟨5, 2⟩ − ⟨1, 3⟩ = ⟨4, −1⟩.
هندسيًا
لجمع متجهين بالرسم، ضع بداية الثاني عند نهاية الأول، والمتجه الناتج يبدأ من بداية الأول وينتهي عند نهاية الثاني. أو ارسمهما من النقطة نفسها، وأكمل متوازي الأضلاع، فيكون القطر هو الناتج.
3. ضرب المتجه في عدد
نضرب كل مركبة في العدد. 3 × ⟨2, −1⟩ = ⟨6, −3⟩. إذا كان العدد موجبًا يبقى الاتجاه نفسه، وإذا كان سالبًا ينعكس الاتجاه.
4. الضرب القياسي
نضرب المركّبات المتناظرة ثم نجمع الناتجين، والنتيجة عدد لا متجه.
- ⟨2, 3⟩ · ⟨4, −1⟩ = (2 × 4) + (3 × −1) = 8 − 3 = 5.
العلاقة بالزاوية
الضرب القياسي يساوي أيضًا حاصل ضرب الطولين في جيب تمام الزاوية بينهما: u · v = |u|·|v|·cos θ. ومن هنا نستخرج الزاوية بين أي متجهين.
شرط التعامد
إذا كان الضرب القياسي لمتجهين غير صفريين يساوي صفرًا، فهما متعامدان، لأن جيب تمام 90° يساوي صفرًا.
ملخص العمليات
| العملية | القاعدة | الناتج |
|---|---|---|
| الطول | √(a² + b²) | عدد موجب |
| الجمع | جمع المركبات المتناظرة | متجه |
| الضرب في عدد | ضرب كل مركبة | متجه |
| الضرب القياسي | ضرب المتناظرات ثم الجمع | عدد |
أخطاء شائعة
- نسيان الجذر عند حساب الطول.
- جمع المركبة الأفقية مع الرأسية.
- اعتبار ناتج الضرب القياسي متجهًا.
- نسيان الإشارة السالبة عند ضرب مركبة سالبة.
تمرين سريع
إذا كان u = ⟨1, 2⟩ و v = ⟨−2, 1⟩، فهل هما متعامدان؟ الضرب القياسي: (1 × −2) + (2 × 1) = 0. إذن نعم، متعامدان.
تطبيق: إيجاد الزاوية بين متجهين
ما الزاوية بين المتجهين u = ⟨1, 0⟩ و v = ⟨1, 1⟩ ؟
- الضرب القياسي: (1 × 1) + (0 × 1) = 1.
- الطولان: طول u يساوي 1، وطول v يساوي √2.
- جيب التمام: cos θ = 1 ÷ (1 × √2) = 1/√2.
- الزاوية: θ = 45°.
لماذا ينفع هذا؟
لأن الضرب القياسي يحول سؤالًا هندسيًا عن الزوايا إلى حساب جبري بسيط. ولا تحتاج إلى رسم دقيق أو منقلة.
المتجهات في الفيزياء
المتجهات ليست موضوعًا رياضيًا فقط. القوة والسرعة والإزاحة كلها متجهات، وجمعها يتبع القواعد نفسها. إذا أثرت قوتان في جسم، فالقوة المحصلة هي مجموعهما المتجه لا مجموع مقداريهما.
مثال: قوة 3 نيوتن نحو الشرق وقوة 4 نيوتن نحو الشمال. المحصلة متجه ⟨3, 4⟩، ومقدارها √(9 + 16) = 5 نيوتن، لا 7 نيوتن.
حالة خاصة
إذا كانت القوتان في الاتجاه نفسه، فالمحصلة مجموعهما. وإذا كانتا متعاكستين، فالمحصلة الفرق بينهما. أما في الاتجاهات الأخرى، فنستخدم المركبات كما في المثال.
هذا الربط بين الرياضيات والفيزياء يساعدك في المادتين معًا، ويجعل المتجهات أقل تجريدًا.
خلاصة
أربع عمليات تحل بها أغلب أسئلة المتجهات: الطول، والجمع، والضرب في عدد، والضرب القياسي. أتقنها بالترتيب، وتدرّب على خمسة أسئلة لكل عملية قبل الانتقال إلى التطبيقات.
